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证明e^x>1+x
试
证明
:当x不等于1时,
e^x>ex
答:
可用导数
证明
如下:y=e^x-ex y'=e^x-e 令y'=0,则有e^x=e,即x=1.当
x>1
的时候,e^x>e,此时y为单调增函数。当x<1的时候,e^x<e,此时y为单调减函数。所以当x=1,是y的最小值,即:y>y(1)=0 e^x-ex>0
e^x>ex
,得证。
e^ x>ex
怎么
证明
?
答:
证:令f(x)=e^x-ex 对f(x)求导得 f '(x)=e^x-e 因为
x>1
所以f '(x)=e^x-
e>
e¹-e=0 故f(x)在x>1上是增函数 故f(x)>f(1)=e¹-e×1=0 即e^x-ex>0
e^x>ex
证毕。
高数解决 利用单调性
证明
当
x>
0时,ln(
1+x
)>x/(1+x)
答:
令f(x)=
e^x
-1- (
1+x
)ln(1+x)f(0)=0 f'(x)=e^x- 1-ln(1+x)f'(0)=0 f''(x)=e^x- 1/(1+x)>0 (
x>
0)所以 f'(x)是增函数,所以 f'(x)>f'(0)=0 (x>0)从而 f(x)是增函数,所以 f(x)>f(0) (x>0)即 e^x-1> (1+x)ln(1+x).
证明
当
x>
0时,有不等式x<
e^x
-
1
<xe^x
答:
证明
先证左边 x<e^x-1 设f(x)=e^x-1-x f'(x)=e^x-1 ∵x>0 ∴
e^x>1
∴f(x)在(0,+∞)单增 f(0)=1-1-0=0 ∴x>0 e^x-1-x>0 即x<e^x-1 再证右边 e^x-1<xe^x 设g(x)=xe^x-e^
x+
1 g'(x)=xe^x x>0 g'(X)>0 ∴g(x)在(0,+∞)单增 g(0...
为什么
e^
(
x
)-
1
与x等价无穷小,详细过程
答:
lim (
e^x
-1)/x (0/0型,适用罗必达)x->0 =lim e^x/1 x->0 =1 所以为等价无穷小 如果不用罗必达,也可令e^x-1=t 则e^x=t
+1
x=ln(t+1)x->0 t->0 lim t/ln(t+1)t->0 =lim1/ln(t+1)^1/t t->0 =1 等价无穷小是无穷小的
一
种。在同一点上,这两个无穷小之...
e^x
求导过程
答:
你图里第一个证明就可以是正确的了,因为最后一步不需要用到洛必达,只需要用到e^x-1与x是等价无穷小。仔细看高数课本,逻辑应该是:利用(
1+x
)^(1/x)极限是e(证明过程未涉及导数),证明ln(
x+
1)与x是等价无穷小,然后
证明e^x
-1与x是等价无穷小即可,无需用洛必达法则。
证明1
的无穷...
怎样
证明
lim(
1+ x
)
^ x
=
e
&
答:
l i m [(X-1)/(
X+1
)]
^x
=
e
²x→+∞ 过程见
利用单调性
证明e^
2x<
1+x
/1-x (0<x<1)
答:
e^
(2x)>0.∴一阶导函数f'(x)在[0,1)上递增。∴恒有f'(x)>f'(0)=0 即当0<x<1时,恒有f'(x)>0 ∴在(0,1)上,函数f(x)递增。∴此时恒有f(x)>f(0)=0 即在区间(0,1)上,恒有f(x)>0 即有
x+
1+(x-1)e^(2x)>0 整理可得 e^(2x)<(
1+x
)/(1-x)...
证明
f(x)=
e^x+1
/e^x 在(0,+∞)上是单调递增函数 请高手帮忙解答!很急...
答:
因为 (0,正无穷)所以
e^x>
e^0=1 所以 f'(x)>0 所以函数是增函数 解法二:设x1>x2 x1,x2属于 (0,正无穷)f(x1)-f(x2)=(e^x1-e^x2)+(1/e^x1-1/e^x2)=(e^x1e^x2-1)(e^x1-e^x2)/(e^x1e^x2)因为 e^x1
>1
e^x2>1 所以 e^x1e^x2-1>0 e^x1-e^x2>...
证明
:对一切实数x有x
e^x>
=e^x-1 谢谢!
答:
令f(x)=xe^x-e^x-
1
f'(x)=xe^
x+
e^x-e^x=xe^x 当x<0时,f'(x)<0 当x>0时,f‘(x)>0 所以,当x=0时,f(x)取最小值。f(0)=0 所以,对一切实数,f(x)≥0恒成立。即对一切实数x有x
e^x>
=e^x-1
棣栭〉
<涓婁竴椤
7
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11
涓嬩竴椤
灏鹃〉
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